平行线的判定与性质专项训练（9）——相交线与平行线（20）——尖子生之路[七下系列]
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平行线的判定与性质专项训练(9)
——相交线与平行线（20）
【试题】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2中，∠ABM=1/3∠ABF，∠CDM=1/3∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M= ．
【解析】
（1）首先先求出∠ABE+∠CDE的度数，方法均有4种，之前文章中已有类似的文章（如：七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(11)），下面仅提供一种解法：如下图示，过E点作EG∥CD，因AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，得到∠ABE+∠2＝1800，∠CDE+∠1＝1800，从而∠ABE+(∠1+∠2)+ ∠CDE＝3600，而∠BED＝∠1+∠2＝800，所以∠ABE+∠CDE＝2800.
再求∠3+∠4的度数，因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5（∠ABE+∠CDE）＝1400.
类似上述思路，可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝1400.如下图示：
（2）如下图示：
类似前面分析，可得到：
∠ABE+∠CDE＝3600－∠E，
∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE
＝0.5（∠ABE+∠CDE）
＝…＝1800－0.5∠E，
进一步，得到：
∠3+∠4＝1/3∠ABF+1/3∠CDF
＝1/3(∠ABF+∠CDF)
＝1/3（1800－0.5∠E）
＝600－1/6∠E.
得到∠BMD＝∠7+∠8
＝600－1/6∠E.
即6∠BMD+∠E＝3600.
（3）与（2）题类似，如下图示：
类似前面分析，可得到：
∠ABE+∠CDE＝3600－∠E，
∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE
＝0.5（∠ABE+∠CDE）
＝…＝1800－0.5∠E，
进一步，得到：
∠3+∠4＝1/n∠ABF+1/n∠CDF
＝1/n(∠ABF+∠CDF)
＝1/n（1800－0.5m0）
＝1800/n－m0/(2n).
得到∠BMD＝∠7+∠8
＝1800/n－m0/(2n).
即∠BMD+∠E＝(3600－m0)/(2n).
【反思】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用，关键在于“如何构造”三线八角“．
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【拓展】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示，写出∠M= ．
【提示】解法类似，m0/(2n).
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